Diyanet İşleri Başkanlığı teşkilatında 1997 yılında İmam Hatip olarak göreve başlayan Böğet, yurtiçi ve yurtdışında çeşitli görevlerde bulundu.
Konya İli Bozkır İlçe Müftüsü iken Isparta İl Müftü Yardımcısı olarak atanan Böğet görevine başladı.